- Теорема Нэша о регулярных вложениях
-
Теорема Нэша о регулярных вложениях:
Всякое -мерное риманово многообразие класса , , допускает изометрическое вложение в для достаточно большого .
Нэш также дал явную оценку , которая позднее несколько раз улучшалась. В частности теорема справедлива для .[1]
Нэш также доказал аналогичный результат для аналитических вложений.
О доказательстве
Эта теорема получена в результате применения обобщения теоремы о неявной функции — теоремы Нэша — Мозера. Смысл этой теоремы состоит в том, что из разрешимости некоторой линейной алгебраической системы уравнений, естественно связанной с дифференциальным оператором , и при введении разумной топологии в образе и прообразе рассматриваемый оператор является открытым отображением, то есть оператор локально обратим вблизи любой точки из множества его значений. Для уравнений вложения риманова пространства в евклидово эти условия сводятся к тому, что первые и вторые производные отображения по внутренним координатам должны быть поточечно линейно независимыми (такие вложения называются свободными). Из обобщенной теоремы о неявной функции вытекает, что компактное риманово многообразие , достаточно близкое к компактному риманову многообразию , допускающему свободное изометрическое вложение в , также допускает изометрическое вложение в .
Как только это доказано, утверждение теоремы получается нехитрой конструкцией: Строится короткое свободное вложение . Пусть метрика индуцированная . Строится почти изометрическое вложение , , то есть вложение с индуцированной метрикой произвольно близкой к (это выполняется с помощью конструкции, называемой скручиванием Нэша), после чего используем теорему Нэша — Мозера и получаем вложение близкое к с индуцированной метрикой . Эти два вложения дают изометрическое вложение:
- ,
Вариации и обобщения
- Теорема Нэша — Кейпера — аналогичный результат для -гладких вложений
- Аналогичная теорема для псевдоримановых многообразий следует из теоремы Нэша, но её можно доказать без теоремы Нэша — Мозера. Возможно построить изометрическое вложение в псевдоевклидово пространство только с помощью скручиваний Нэша.
- Любое гладкое компактное финслерово многообразие со строго выпуклыми нормами допускает изометрическое вложение в конечномерное Банахово пространство.[2]
Литература
- ↑ см. стр. 319, Громов М., Дифференциальные соотношения с частными производными, Мир 1990
- ↑ Бураго, Иванов, Изометрические вложения финслеровых многообразий
- Нэш, Дж., «Успехи матем. наук», 1971, т. 26, в. 4, с. 173—216;
Категории:- Риманова (и псевдориманова) геометрия
- Теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.