- Прообраз
-
В данной статье приведено общее определение математической функции. В средних школах и на нематематических специальностях высших учебных заведениях изучают более простое понятие числовой функции, являющееся частным случаем математической функции.
Содержание
Определения
- Нестрогое определение: функция — это «закон», по которому каждому значению элемента x из некоторого множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y.
- Строгое определение: функция или отображе́ние — это бинарное отношение, обладающее свойством:
- Функция называется инъективной, если
Обозначения
- , или для отображения F множества X в множество Y;
- Множество X называется о́бластью определе́ния отображения F (обозначается D(F), или .).
- Множество Y называется о́бластью значе́ний отображения F.(обозначается E(F), или ).
- , y = F(x) или или . Используется также обратная польская запись: y = xF, а иногда y = xF.
- Элементы x называют аргументами функции, а соответствующие элементы y — значениями функции.
Связанные определения
- Пусть дано отображение , и . Тогда суже́нием функции F на M называется функция , определяемая равенством
- .
- Это определение подчёркивает, что фиксация области определения является частью определения функции.
-
- F является продолжением функции на множество . Можно рассматривать продолжения, обладающие различными свойствами, например аналитическое продолжение.
- Пусть . Тогда о́бразом множества M называется подмножество множества Y, определяемое равенством
- .
- Множество F(X) называется образом отображения F и обозначается .
- Пусть задано отображение , и y = F(x). Тогда x называется проо́бразом y, а y называется о́бразом x. Согласно определению отображения, каждый элемент должен иметь ровно один образ, но элемент может не иметь прообразов либо иметь один или несколько.
- Например, пусть дана функция , где F(x) = x2. Тогда
- y = − 1 не имеет прообразов;
- y = 0 имеет единственный прообраз x = 0;
- y = 1 имеет два прообраза: x1 = 1 и x2 = − 1.
- Например, пусть дана функция , где F(x) = x2. Тогда
- Пусть задано отображение , и . Тогда множество называется по́лным проо́бразом элемента y. Полный прообраз обозначается F - 1(y).
- Например, пусть , и F(x) = sinx. Тогда
- .
- Например, пусть , и F(x) = sinx. Тогда
- Пусть . Тогда проо́бразом множества N называется подмножество множества X, определяемое равенством
- .
- Например, пусть , и F(x) = cosx. Тогда
- ,
- .
Свойства
Свойства прообразов и образов
- ;
- ;
- ;
- . Заметим отсутствие равенства в этом случае.
Классы функций
При необходимости можно различать отображения в зависимости от природы множеств X и Y. Если X и Y — числовые множества, такие, как или , то отображение называют функцией. Если X или Y многомерны, например, или , то отображение называют ве́ктор-фу́нкцией. Если X — произвольной природы, а Y — поле, то отображение называют функциона́лом. В специальных случаях используют и другие термины: оператор, функтор, преобразование, морфизм и т. д.
Вариации и обобщения
Функции нескольких аргументов
Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.
Пусть даны множества и множество Y, тогда упорядоченное множество всех кортежей называется функцией n аргументов тогда и только тогда, когда для любых и из следует, что .[1]
Примечания
- ↑ Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа. — том 1. — М.: Высшая школа, 1981. — с. 8.
См. также
- Композиция функций
- График функции
- Сюръективность
- Инъективность
- Биективность
- Функция с множеством значений {0, 1}
- Функциональное уравнение
Литература
- Функция. Математический энциклопедический словарь. — Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: «Большая российская энциклопедия», 1995.
Wikimedia Foundation. 2010.