- Модель Лотки — Вольтерра
-
Модель Лотки — Вольтерра
Модель Лотки — Вольтерра — модель межвидовой конкуренции, названная в честь её авторов — (Лотка, 1925; Вольтерра 1926), которые предложили модельные уравнения независимо друг от друга.
Такие уравнения можно использовать для моделирования систем «хищник-жертва», «паразит-хозяин», конкуренции и других видов взаимодействия между двумя видами (Одум, 1986)
В математической форме предложенная система имеет следующий вид:
где:
- — количество жертв
- — количество хищников
- — время
- , , и — коэффициенты, отражающие взаимодействия между видами
Содержание
Решение системы уравнений
Постановка задачи
Допустим у нас есть закрытый ареал из которого существа ни иммигрируют, ни эммигрирует. Также допустим, что еды для травоядных животных у нас имеется с избытком. Тогда уравнение изменения количества жертв примет вид:
где:
- — это коэффициент рождаемости жертв
- — это величина популяции жертв
- — это скорость прироста популяции жертв.
Так как хищники стабильным питанием не обеспечены, то они вымирают. Следовательно уравнение для хищников примет вид:
где:
- — это коэффициент убыли хищников
- — это величина популяции хищников
- — это скорость прироста популяции хищников.
Встречи хищников и жертв(которые ), убивают жертв с коэффициентом и рождают новых хищников с коэффициентом . С учётом этого, получаем систему уравнений:
Решение задачи
Нахождение стационарной позиции системы
Найдем стационарную точку, вокруг которой происходят колебания. Для стационарной позиции изменение популяции равно нулю. Следовательно:
Из чего следует, что:
Задание отклонения системе
Теперь на надо ввести в нашу систему колебания и . Из-за малой величины квадратами, кубами и т.д. можно пренебречь. Теперь популяция и будет равняться:
Далее расписываем предыдущее уравнение:
Похожий ответ получаем относительно хищников:
После чего дифференцируем одно уравнение и подставляем в него другое:
— является уравнением гармонического осциллятора с периодом
См. также
Ссылки
Wikimedia Foundation. 2010.
Модель Лотки — Модель Лотки Вольтерра (более правильным является произношение Вольтерры, однако этот вариант мало распространён в русском языке[1]) модель межвидовой конкуренции, названная в честь её авторов (Лотка, 1925; Вольтерра 1926),… … Википедия
Вольтерра, Вито — У этого термина существуют и другие значения, см. Вольтерра (значения). Вито Вольтерра итал. Vito Volterra Дата рождения … Википедия
Математическая модель — Математическая модель это математическое представление реальности[1]. Математическое моделирование это процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат,… … Википедия
Система «хищник-жертва» — Система «хищник жертва» сложная экосистема, для которой реализованы долговременные отношения между видами хищника и жертвы, типичный пример коэволюции. Отношения между хищниками и их жертвами развиваются циклически, являясь иллюстрацией… … Википедия
Механизм реакции Белоусова — Жаботинского — Содержание 1 Модель Жаботинского Корзухина 2 Брюсселятор 3 Орегонатор … Википедия
Механизм реакции Белоусова-Жаботинского — Содержание 1 Модель Жаботинского Корзухина 2 Брюсселятор 3 Орегонатор 4 … Википедия
Механизм реакции Белоусова — Содержание 1 Модель Жаботинского Корзухина 2 Брюсселятор 3 Орегонатор … Википедия
Логистическое уравнение — Логистическое уравнение, также известное, как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при рассмотрении модели роста численности населения. Исходные предположения для вывода… … Википедия
Закон Клайбера — (метаболический закон ¾) биохимическое правило, связывающее скорость основного обмена и массу организма. Закон был сформулирован швейцарским учёным Максом Клайбером на основе наблюдений, сделанных в начале 1930 х годов. Клайбер заметил, что для… … Википедия
Математическое моделирование — Математическая модель это математическое представление реальности[1]. Математическое моделирование процесс построения и изучения математических моделей. Все естественные и общественные науки, использующие математический аппарат, по сути… … Википедия