- Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака
-
Нормальная форма Пуанкаре — Дюлака
В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре — Дюлака (англ.) — формальная нормальная форма векторного поля в окрестности своей особой точки.
Содержание
Формулировка
Резонансы
По определению, резонансом для набора называется равенство
(*) где .
Резонансным мономом векторного поля, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме с собственными значениями , называется моном
где и для λ и k выполнено (*).
Теорема Пуанкаре — Дюлака
Теорема.Формальное векторное поле с особой точкой в начале координат формально эквивалентно формальному векторному полю, линейная часть которого приведена к жордановой нормальной форме, и все ненулевые мономы резонансны.Указанный в теореме вид называется резонансной формальной нормальной формой Пуанкаре — Дюлака.
Связанные понятия
Области Пуанкаре и Зигеля
Говорят, что вектор принадлежит области Пуанкаре, если ноль не лежит в выпуклой оболочке точек . В противном случае говорят, что он принадлежит области Зигеля. Наконец, в случае, если ноль принадлежит выпуклой оболочке вместе с некоторой своей окрестностью, говорят, что вектор λ принадлежит строгой области Зигеля.
В случае вектора собственных значений, принадлежащего области Пуанкаре, резонансная нормальная форма Пуанкаре — Дюлака на самом деле полиномиальна. В случае таких собственных значений, можно утверждать, что векторное поле аналитически эквивалентно своей резонансной формальной нормальной форме.
Теорема Левелля
Теорема Левелля, описывающая резонансную нормальную форму фуксовой особой точки
может рассматриваться как линейный по z вариант нормальной формы Пуанкаре — Дюлака для расширенной системы
Литература
- Арнольд В. И., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Динамические системы — 1 // Итоги науки и техн. — Сер. «Соврем. пробл. мат. Фундам. направления». — №1. — М.: ВИНИТИ, 1985. — с. 7—140.
- Ilyashenko Yu., Yakovenko S. Lectures on Analytic Differential Equations.
Wikimedia Foundation. 2010.
Нормальная форма Пуанкаре-Дюлака — Нормальная форма Пуанкаре Дюлака … Википедия
Нормальная форма Пуанкаре — У этого термина существуют и другие значения, см. Нормальная форма (значения). В теории динамических систем, нормальная форма Пуанкаре Дюлака (англ.) формальная нормальная форма векторного поля в окрестности своей особой точки.… … Википедия
Нормальная форма (значения) — Нормальная форма: Нормальная форма в базах данных свойство отношения в реляционной модели данных. Нормальная форма в математике в каком либо смысле простейший либо канонический вид, к которому объект приводится преобразованиями,… … Википедия
Нормальная форма (математика) — У этого термина существуют и другие значения, см. Нормальная форма (значения). Нормальная форма в математике простейший либо канонический вид, к которому объект приводится эквивалентными преобразованиями[1]. Содержание 1 Жорданова… … Википедия
Пуанкаре, Анри — Анри Пуанкаре Henri Poincaré Дата рождения: 29 апреля 1854(1854 04 29) Место рождения: Нанси … Википедия
Фуксова особая точка — В теории дифференциальных уравнений с комплексным временем, точка называется фуксовой особой точкой линейного дифференциального уравнения если матрица системы A(t) имеет в ней полюс первого порядка. Это простейшая возможная особенность… … Википедия