- Теорема о циркуляции магнитного поля
-
Теорема о циркуляции магнитного поля — одна из фундаментальных теорем классической электродинамики, сформулированная Андре Мари Ампером в 1826 году. В 1861 году Джеймс Максвелл снова вывел эту теорему, опираясь на аналогии с гидродинамикой, и обобщил ее (см. ниже). Уравнение, представляющее собой содержание теоремы в этом обобщенном виде, входит в число уравнений Максвелла. (Для случая постоянных электрических полей - то есть в принципе в магнитостатике - верна теорема в первоначальном виде, сформулированном Ампером и приведенном в статье первым; для общего случая правая часть должна быть дополнена членом с производной напряженности электрического поля по времени - см. ниже). Теорема гласит[1]:
Циркуляция магнитного поля постоянных токов по всякому замкнутому контуру пропорциональна сумме сил токов, пронизывающих контур циркуляции.
Эта теорема, особенно в иностранной или переводной литературе, называется также теоремой Ампера или законом Ампера о циркуляции (англ. Ampère’s circuital law). Последнее название подразумевает рассмотрение закона Ампера в качестве более фундаментального утверждения, чем закон Био — Савара — Лапласа, который в свою очередь рассматривается уже в качестве следствия (что, в целом, соответствует современному варианту построения электродинамики).
Для общего случая (классической) электродинамики формула должна быть дополнена в правой части членом, содержащим производную по времени от электрического поля (см. уравнения Максвелла, а также параграф «Обобщение» ниже). В таком дополненном виде она представляет собой четвёртое уравнение Максвелла в интегральной форме.
Содержание
Математическая формулировка
В математической формулировке для магнитостатики теорема имеет[2]следующий вид[1][3]:
Здесь — вектор магнитной индукции, — плотность тока; интегрирование слева производится по произвольному замкнутому контуру, справа — по произвольной поверхности, натянутой на этот контур. Данная форма носит название интегральной, поскольку в явном виде содержит интегрирование. Теорема может быть также представлена в дифференциальной форме[4]:
Эквивалентность интегральной и дифференциальной форм следует из теоремы Стокса[5].
Приведённая выше форма справедлива для вакуума. В случае применения её в среде (веществе), она будет корректна только в случае, если под j понимать вообще все токи, то есть учитывать и «микроскопические» токи, текущие веществе, включая «микроскопические» токи, текущие в областях размерами порядка размера молекулы (см. диамагнетики) и магнитные моменты микрочастиц (см.например ферромагнетики).
Поэтому в веществе, если не пренебрегать его магнитными свойствами, часто удобно из полного тока выделить ток намагничения (см. связанные токи), выразив его через величину намагниченности и введя вектор напряжённости магнитного поля
Тогда теорема о циркуляции запишется в форме[6]
где под (в отличие от в формуле выше) имеются в виду т. н. свободные токи, в которых ток намагничения исключен (что бывает удобно практически, поскольку - это обычно уже в сущности макроскопические токи, которые не связаны с намагничением вещества и которые в принципе нетрудно непосредственно измерить)[7].
В динамическом случае - то есть в общем случае классической электродинамики - когда поля меняются во времени (а в средах при этом меняется и их поляризация) - и речь тогда идет об обобщенной теореме, включающей , - всё сказанное выше относится и к микроскопическим токам, связанным с изменениями поляризации диэлектрика. Эта часть токов тогда учитывается в члене .
Обобщение
Основным фундаментальным обобщением[8] теоремы является четвёртое уравнение Максвелла. В интегральной форме оно является прямым обобщением на динамический случай магнитостатической формулы, приведённой выше. Для вакуума[9]:
для среды[10]:
(Как видим, формулы отличаются от приведенных выше только одним добавочным членом со скоростью изменения электрического поля в правой части).
Дифференциальную форму этого уравнения:
(в гауссовой системе, для вакуума и среды соответственно) - также можно при желании считать вариантом обобщения теоремы о циркуляции магнитного поля, поскольку она, конечно, тесно связана с интегральной.
Практическое значение
Теорема о циркуляции играет в магнитостатике приблизительно ту же роль, что и теорема Гаусса в электростатике. В частности, при наличии определённой симметрии задачи, она позволяет просто находить величину магнитного поля во всём пространстве по заданным токам[1]. Например, для вычисления магнитного поля от бесконечного прямолинейного проводника с током по закону Био — Савара — Лапласа потребуется вычислить неочевидный интеграл, в то время как теорема о циркуляции (с учётом осевой симметрии задачи) позволяет дать мгновенный ответ:
- .
Примечания
- ↑ 1 2 3 Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 235. — 688 с.
- ↑ Приведено здесь в гауссовой системе единиц; в системе СИ константа в правой части вместо записывается как .
- ↑ здесь и ниже использована система СГС, в системе СИ коэффициенты отсутствуют
- ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 239. — 688 с.
- ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 241. — 688 с.
- ↑ Сивухин Д. В. Общий курс физики. — М.: Наука, 1977. — Т. III. Электричество. — С. 253. — 688 с.
- ↑ На практике при написании уравнений для среды индекс f у токов как правило опускается, пишется просто . Также часто не делается оговорок о том, что это именно «свободные» токи. В такой феноменологической теории никаких других токов явно не рассматривается, хотя на самом деле (физически) связанные токи, конечно, есть, просто «спрятаны» в другие величины — итп и формально исключены из рассмотрения.
- ↑ Поскольку это обобщение основывается на верности магнитостатического варианта теоремы Ампера о циркуляции магнитного поля и сохранении заряда (которое может быть принято как постулат) и может быть показано достаточно строго соответствие обобщенного уравнения этим двум посылкам, а при наложении определенных дополнительных условий - и единственность такого обобщения, оно в принципе может быть также сформулировано в виде теоремы.
- ↑ В гауссовой системе единиц.
- ↑ В основном тексте — в гауссовой системе единиц. В СИ — так:
Категории:- Магнитостатика
- Физические теоремы
Wikimedia Foundation. 2010.