- W-функция Ламберта
-
-функция Ламберта определяется как обратная функция к , для комплексных . Обозначается или . Для любого комплексного она определяется функциональным уравнением:
-функция Ламберта не может быть выражена в элементарных функциях. Она применяется в комбинаторике, например, при подсчёте числа деревьев, а также при решении уравнений.
Содержание
История
Функция изучалась ещё в работе Леонарда Эйлера в 1779, но не имела самостоятельного значения и названия вплоть до 1980-х. Как самостоятельная функция была введена в системе компьютерной алгебры Maple, где для неё использовалось имя LambertW. Имя Иоганна Генриха Ламберта было выбрано, поскольку Эйлер ссылался в своей работе на труды Ламберта, и поскольку «называть ещё одну функцию именем Эйлера было бы бесполезно»[1].
Многозначность
Эта статья или раздел описывает ситуацию применительно лишь к частным случаям (). Необходимо переработать изложение или добавить информацию, чтобы статья описывала более общий случай.Поскольку функция не является инъективной на интервале , является многозначной функцией на . Если ограничиться вещественными и потребовать , будет определена однозначная функция .
Асимптотики
Полезно знать асимптотики функции при стремлении к некоторым ключевым точкам. Например, для ускорения сходимости при выполнении рекуррентных расчетов.
Свойства
С помощью дифференцирования неявной функции можно получить, что при функция Ламберта удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению
С помощью теоремы об обращении рядов можно получить выражение для ряда Тейлора; он в окрестности нуля сходится при :
С помощью интегрирования по частям можно найти интеграл от W(z):
Значение в некоторых точках
- (постоянная Омега)
Решение уравнений с помощью W-функции
Решения многих трансцендентных уравнений могут быть выражены в форме W-функции.
Пример:
- , следовательно, .
Пример:
Обозначим , тогда , отсюда и окончательно .
Обобщенные применения W-Функции Ламберта
Стандартная W-функция Ламберта показывает точные решения трансцендентных алгебраических уравнений формы:
где a0, c и r являются вещественными константами. Решением такого уравнения является . Ниже перечислены некоторые из обобщенных применений W-функции[2] Ламберта:
- Эта функция может быть использована в общей теории относительности и в квантовой механике (квантовой гравитации) в нижних измерениях. В журнале “Classical and Quantum Gravity”[3] была представлена ранее неизвестная связь между этими двумя понятиями, где правая сторона уравнения превращается в квадратный многочлен по переменной x:
- и где константы r1 и r2, являются корнями этого квадратичного многочлена. В данном случае решением этого уравнения является функция с аргументом x , а ri и ao являются параметрами этой функции. С этой точки зрения, несмотря на то, что данное обобщенное применение W-функции Ламберта напоминает гипергеометрическую функцию и функцию “Meijer G", оно принадлежит к другому типу функций. Когда r1 = r2, то обе стороны уравнения (2) могут быть упрощены к уравнению (1), и таким образом общее решение упрощается к стандартной W-функцией. Уравнение (2) показывает определяющие отношения в скалярном поле дилатонноя, из чего следует решение задачи измерения линейной гравитации парных тел в 1+1 измерениях (измерение пространства и измерение времени) в случае неравных масс, а также решение задачи двумерного стационарного уравнения Шрёдингера с потенциалом в виде дельта-функции Дирака для неодинаковых зарядов в одном измерении.
- Эта функция может быть использована для решения частной задачи внутренних энергий квантовой механики, состоящей в определении относительного движения трёх тел, а именно трёхмерной молекулы водорода[4]. В этом случае, правая сторона уравнения (1) (или (2)) теперь становится отношением двух беспредельных многочленов по переменной x:
- где ri и si константы, а x является функцией между внутренней энергией и расстоянием внутри ядра R. Уравнение (3), а также его упрощённые формы, выраженные в уравнениях (1) и (2), относятся к типу дифференциальных уравнений с запозданием.
Применения W-Функции Ламберта в основных проблемах физики не ограничиваются стандартным уравнением (1), как было недавно показано в областях атомной, молекулярной и оптической физики[5].
Вычисление
-функция может быть приблизительно вычислена с помощью рекуррентного соотношения[1]:
Пример программы на языке Python:
import math def lambertW(x, prec=1e-12): w = 0 for i in xrange(100): wTimesExpW = w*math.exp(w) wPlusOneTimesExpW = (w+1)*math.exp(w) w -= (wTimesExpW-x)/(wPlusOneTimesExpW-(w+2)*(wTimesExpW-x)/(2*w+2)) if (prec > abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): break if (prec <= abs((x-wTimesExpW)/wPlusOneTimesExpW)): raise Exception, "W(x) не сходится достаточно быстро при x=%f" % x return w
Для приближённого вычисления можно использовать формулу[6]: !!!Приведенная функция похожа, но более чем на 10% отличается от функции Ламберта
Ссылки
- ↑ 1 2 Corless et al. "On the Lambert W function" Adv. Computational Maths. 5, 329 - 359 (1996) (PostScript)
- ↑ T.C. Scott and R.B. Mann (April 2006). General Relativity and Quantum Mechanics: Towards a Generalization of the Lambert W Function, AAECC (Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing), 17: no. 1, 41–47, [1]; Arxiv article [2]
- ↑ P.S. Farrugia, R.B. Mann, and T.C. Scott (2007). N-body Gravity and the Schrödinger Equation, Class. Quantum Grav. 24: 4647–4659, [3]; Arxiv article [4]
- ↑ T.C. Scott, M. Aubert-Frécon and J. Grotendorst (2006). New Approach for the Electronic Energies of the Hydrogen Molecular Ion, Chem. Phys. 324: 323–338, [5]; Arxiv article [6]
- ↑ T.C. Scott, A. Lüchow, D. Bressanini and J.D. Morgan III (2007). The Nodal Surfaces of Helium Atom Eigenfunctions, Phys. Rev. A 75: 060101, [7]
- ↑ Double precision function LAMBERTW(X) в пакете QCDINS
Категория:- Специальные функции
Wikimedia Foundation. 2010.