- Дзета-функция Римана
-
Запрос «Дзета-функция» перенаправляется сюда; см. также другие значения.
Дзета-функция Римана или дзета-функция Эйлера-Риманаряда Дирихле:
определяется с помощьюгде .
В области , этот ряд сходится, является аналитической функцией и допускает аналитическое продолжение на всю комплексную плоскость без единицы.
Содержание
Тождество Эйлера
В исходной области также верно представление в виде бесконечного произведения (тождество Эйлера)
- ,
где произведение берётся по всем простым числам .
Почему это такИдея доказательства использует лишь простую алгебру, доступную прилежному школьнику. Изначально этим способом Эйлер вывел формулу. Есть свойство решета Эратосфена, из которого мы можем извлечь пользу:
Вычитая второе из первого, мы удаляем все элементы с делителем 2:
Повторяем для следующего:
Опять вычитаем, получаем:
где удалены все элементы с делителями 2 и/или 3.
Как можно увидеть, правая сторона просеивается через решето. Бесконечно повторяя, получаем:
Поделим обе стороны на всё, кроме , получим:
Можно записать короче как бесконечное произведение по всем простым p:
Чтобы сделать доказательство строгим, необходимо потребовать только лишь, чтобы, когда , просеиваемая правая часть приближалась к 1, что немедленно следует из сходимости ряда Дирихле для .
Это равенство представляет собой одно из основных свойств дзета-функции.
Свойства
- Существуют явные формулы для значений дзета-функции в чётных целых точках:
- , где — число Бернулли.
- В частности, .
- Про значения дзета-функции в нечётных целых точках известно мало: предполагается, что они являются иррациональными и даже трансцендентными, но пока доказана только лишь иррациональность числа ζ(3) (Роже Апери, 1978). Также доказано, что среди значений ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) есть хотя бы одно иррациональное.[1]
- При
- , где — функция Мёбиуса
- , где — число делителей числа
- , где — число простых делителей числа
- имеет в точке простой полюс с вычетом, равным 1.
- Дзета-функция при удовлетворяет уравнению:
- ,
-
- где — Гамма-функция Эйлера. Это уравнение называется функциональным уравнением Римана.
- Для функции
- ,
- введенной Риманом для исследования и называемой кси-функцией Римана, это уравнение принимает вид
- .
Нули дзета-функции
Как следует из функционального уравнения Римана, в полуплоскости , функция имеет лишь простые нули в отрицательных чётных точках: . Эти нули называются «тривиальными» нулями дзета-функции. Далее, при вещественных . Следовательно, все «нетривиальные» нули дзета-функции являются комплексными числами. Кроме того, они обладают свойством симметрии относительно вещественной оси и относительно вертикали и лежат в полосе , которая называется критической полосой. Согласно гипотезе Римана, они все находятся на критической прямой .
Обобщения
Существует довольно большое количество специальных функций, связанных с дзета-функцией Римана, которые объединяются общим названием дзета-функции и являются её обобщениями. Например:
- которая совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- который совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1.
- Дзета-функция Лерха:
- которая совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (так как суммирование ведётся от 0, а не от 1).
- Квантовый аналог (q-аналог).
История
Как функция вещественной переменной, дзета-функция была введена в 1737 году Эйлером, который и указал её разложение в произведение. Затем эта функция рассматривалась Дирихле и, особенно успешно, Чебышевым при изучении закона распределения простых чисел. Однако наиболее глубокие свойства дзета-функции были обнаружены позднее, после работы Римана (1859), где дзета-функция рассматривалась как функция комплексной переменной.
Ссылки
- Jonathan Sondow and Eric W. Weisstein Riemann Zeta Function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Примечания
- ↑ В. В. Зудилин Об иррациональности значений дзета-функции в нечетных точках // УМН. — 2001. — Т. 56. — № 2(338). — С. 215–216.
Категория:- Дзета- и L-функции
Wikimedia Foundation. 2010.