- Нётеров модуль
-
Нётеров мо́дуль (по имени Э. Нётер) — модуль M, в котором выполняется следующее условие обрыва возрастающих цепей:
Всякая последовательность подмодулей
M1ÌM2Ì…MiÌ… (1)
стабилизируется, то есть начиная с некоторого n Mn=Mn+1=…
Легко доказать, что это утверждение равносильно тому, что в любом непустом множестве подмодулей M существует максимальный элемент.
Если M нётеров, то любой подмодуль и любой фактор-модуль M нётеров. Обратно, если подмодуль N и фактор модуль M/N нётеровы, то и сам модуль M нётеров.
Если в определении заменить возрастающие цепи на убывающие, то получим определение т. н. артинова модуля.
Нётеровы модули оказываются более важными, чем артиновы ввиду следующей элементарной, но важной теоремы:
Модуль M нётеров тогда и только тогда, когда любой подмодуль М конечно порождён. Доказать это очень просто. В самом деле, если любой подмодуль конечно порожден, то взяв модуль, являющийся объединением всех подмодулей цепи (1) имеем, что он порожден, скажем элементами x1,x2 xn. Тогда существует некоторый Mk содержащий все эти x и поэтому равный объединению всех Mi. Отсюда Mk=Mk+1=Mk+2… Обратно, если М нётеров и N — его подмодуль, то в множестве всех его конечно порождённых подмодулей N существует максимальный подмодуль N'ÌN. Если N'≠N то взяв xÎN\N' и построив модуль N'+Ax (или N'+xA в некоммутативном случае для правого модуля) мы построим больший модуль против предположения. Значит N конечно порождён.
Ассоциативное кольцо А с единичным элементом называется нётеровым, если оно является нётеровым A-модулем (удовлетворяет условию обрыва возрастающих цепей для идеалов, для некоммутативного случая соответственно левых или правых).
Любой конечно порождённый модуль над нётеровым кольцом нётеров (для некоммутативных колец необходимо чтобы кольцу, нётеровому слева, соответствовал левый модуль, аналогично для правых).
Литература
- Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.:Мир, 1972
- Зарисский О., Самюэль Р. Коммутативная алгебра. — М.:ИЛ, 1963
- Ленг С. Алгебра. — М.:Мир, 1968
Категория:- Теория колец
Wikimedia Foundation. 2010.