- Канторово множество
-
Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.
Содержание
Определения
Классическое построение
Из единичного отрезка удалим среднюю треть, т. е. интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем . Обозначим через пересечение всех . Множество называется Канторовым множеством.
Множества С помощью троичной записи
Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например так как .
Как аттрактор
Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого n,
- или .
Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.
Свойства
- Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
- В частности, оно замкнуто.
- Канторово множество континуально. В частности,
- Канторово множество не счётно
- Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
- Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную . В частности,
- Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.
См. также
Категории:- Математический анализ
- Фракталы
- Топологические пространства
Wikimedia Foundation. 2010.