- Теория Фредгольма
-
В математике, теория Фредгольма — это теория интегральных уравнений. В узком смысле, теория Фредгольма имеет отношение к решению интегрального уравнения Фредгольма. В широком смысле, абстрактная структура теории Фредгольма описывается в терминах спектральной теории операторов Фредгольма и ядер Фредгольма на гильбертовом пространстве. Данная теория названа в честь Эрика Ивара Фредгольма.
Содержание
Однородные уравнения
Большая часть теории Фредгольма касается нахождения решений интегрального уравнения
Данное уравнение естественно возникает во многих задачах физики и математики, как обращение дифференциального уравнения. То есть, ставится задача решить дифференциальное уравнение
где функция f задана, а g неизвестна. Здесь, L – линейный дифференциальный оператор. Например, можно взять за L эллиптический оператор, такой как
в таком случае решаемое уравнение становится уравнением Пуассона. Общий метод решения таких уравнений состоит в том, чтобы посредством функций Грина, то есть, не действуя впрямую, попытаться решить уравнение
где – дельта-функция Дирака. Далее желаемое решение данного уравнения пишется как
Данный интеграл написан в форме интегрального уравнения Фредгольма. Функция известна как функция Грина, или ядро интеграла.
В общей теории, x и y могут принадлежать любому многообразию; вещественная прямая или m-мерное евклидово пространство в простейших случаях. Общая теория также часто требует, чтобы функции принадлежали к заданному функциональному пространству: часто, пространству квадратично интегрируемых функций или пространству Соболева.
Фактически используемое функциональное пространство часто определяется в решении задачи на собственные значения дифференциального оператора; то есть по решениям:
где – собственные числа, а – собственные вектора. Множество собственных векторов образует Банахово пространство, а, где существует естественное скалярное произведение, то и Гильбертово пространство, на котором применима теорема Рисса. Примерами таких пространств служат ортогональные многочлены, которые встречаются в виде решений класса обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.
Если задать Гильбертово пространство, как это было сделано выше, то ядро может быть записано в форме
где - двойственен к . В данной форме, объект часто называют оператором Фредгольма или ядром Фредгольма. То, что это то же самое ядро, следует из полноты базиса гильбертова пространства, а именно, имеем:
Поскольку обычно возрастает, то результирующие собственные значения оператора убывают к нулю.
Неоднородные уравнения
Неоднородное интегральное уравнение Фредгольма
Может быть написано формально как
Тогда формальное решение
Решение в этой форме известно как резольвентный формализм, где резольвента определена как оператор
Заданному набору собственных векторов и собственных значений K можно сопоставить резольвенту конкретного вида
с решением:
Необходимое и достаточное условие существования такого решения – одна из теорем Фредгольма. Резольвента обычно раскладывается в ряд по степеням , в таком случае она известна как ряд Лиувилля-Неймана. Тогда интегральное уравнение записывается как
А резольвента пишется в альтернативной форме:
Определитель Фредгольма
Определитель Фредгольма обычно определяется как
где , и т. д. Соответствующая дзета-функция:
Дзета-функцию можно рассматривать как определитель резольвенты.
Дзета-функция играет важную роль в изучении динамических систем. Отметим, что это тот же общий тип дзета-функции, что и дзета-функция Римана; тем не менее, в этом случае, соответствующее ядро не известно. Существование данного ядра известно как гипотеза Гильберта-Пойа.
Основные результаты
Классические результаты данной теории – это теоремы Фредгольма, одна из которых альтернатива Фредгольма.
Один из важных результатов общей теории это то, что указанное ядро – это компактный оператор, где пространство функций – это пространство равностепенно непрерывных функций.
Выдающимся родственным результатом является теорема об индексе, относящаяся к индексу (dim ker - dim coker) эллиптических операторов на компактных многообразиях.
История
Статья Фредгольма 1903 года в Acta mathematica – одна из важнейших вех в создании теории операторов. Давид Гильберт развил понятие Гильбертова пространства в том числе в связи с исследованием интегральных уравнений, подсказанных Фредгольмом.
Ссылки
- E.I. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) pp. 365–390.
- D.E. Edmunds and W.D. Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press. ISBN 0-19-853542-2.
- B.V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001), "Fredholm kernel", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104
- Bruce K. Driver, "Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem", Analysis Tools with Applications, Chapter 35, pp. 579–600.
- Robert C. McOwen, "Fredholm theory of partial differential equations on complete Riemannian manifolds", Pacific J. Math. 87, no. 1 (1980), 169–185.
Категория:- Интегральное исчисление
Wikimedia Foundation. 2010.