- Тригамма-функция
-
Тригамма-функция в математике является второй из полигамма-функций. Она обозначается и определяется как
где — гамма-функция. Из этого определения следует, что
где — дигамма-функция (первая из полигамма-функций).
Тригамма-функцию можно также определить через сумму следующего ряда:
откуда видно, что она является специальным случаем дзета-функции Гурвица (англ. Hurwitz zeta-function),
Эти формулы верны, когда (в указанных точках функция имеет квадратичные сингулярности, см. график функции).
Отметим другие обозначения для , используемые в литературе:
Иногда термин «тригамма-функция» употребляется для функции .
Содержание
Интегральные представления
Используя представление в виде ряда, а также формулу для суммы членов геометрической прогрессии, можно получить следующее двойное интегральное представление:
С помощью интегрирования по частям получается следующее однократное представление:
Другие формулы
Тригамма-функция удовлетворяет рекуррентному соотношению
а также формуле дополнения
Для тригамма-функции кратного аргумента существует следующее свойство:
Приведём также асимптотическое разложение с использованием чисел Бернулли
- .
Частные значения
Ниже приведены частные значения тригамма-функции:
где G — постоянная Каталана, а — функция Клаузена, связанная с мнимой частью дилогарифма через
Для значений за пределами интервала можно использовать рекуррентное соотношение, приведённое выше.
См. также
- Гамма-функция
- Дигамма-функция
- Полигамма-функция
- Постоянная Каталана
- Trigamma function — статья в английской Википедии
Ссылки
- Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. раздел §6.4
- Eric W. Weisstein, Trigamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
- Eric W. Weisstein, Polygamma Function, MathWorld — mathworld.wolfram.com
Категории:- Специальные функции
- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.