- Солитон
-
Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.
Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а двигаются, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.
История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave» [1] [2] [3].
Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы[4].
Солитоны бывают различной природы:
- на поверхности жидкости[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор[7]
- ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме[8]
- гравитационные солитоны в слоистой жидкости[9]
- солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера[10]
- можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы[11]
Содержание
Математическая модель
Уравнение Кортевега — де Фриза
Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:
Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:
где — амплитуда солитона, — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна . Такой солитон движется со скоростью . Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее.
В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде
где матрица даётся выражением
Здесь и — произвольные вещественные постоянные.
Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера
с потенциалом , убывающим на бесконечности быстрее чем , коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени .
Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при решение имеет асимптотический вид солитонов, тогда при оно также имеет вид солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы -го солитона равен
Пусть -ый солитон движется быстрее, чем -ый, тогда
то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину , а фаза более медленного — уменьшается на , причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.
Кубическое уравнение Шрёдингера
Для нелинейного уравнения Шрёдингера:
при значении параметра допустимы уединённые волны в виде:
где — некоторые постоянные, связанные соотношениями:
См. также
Примечания
- ↑ J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII)
- ↑ J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
- ↑ Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12.
- ↑ N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.Оригинал статьи
- ↑ Дж. Л. Лэм Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
- ↑ А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 40—42.
- ↑ А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 227—23.
- ↑ Солитон — статья из Физической энциклопедии
- ↑ Vladimir Belinski, Enric Verdaguer Gravitational solitons. — Cambridge University Press, 2001. — 258 с. — (Cambridge monographs on mathematical physics). — ISBN 0521805864
- ↑ Н. Н. Розанов Мир лазерных солитонов // Природа. — 2007. — № 6.
- ↑ А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 241—246.
Литература
- Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
- Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
- Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
- Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
- Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
- Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
- Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
- Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
- Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка "Квант". — Изд. 2, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
- Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.
Ссылки
Категории:- Солитоны
- Цунами
Wikimedia Foundation. 2010.