- Конечное поле
-
Конечное поле или поле Галуа — поле, состоящее из конечного числа элементов.
Конечное поле обычно обозначается или , где — число элементов поля.
Простейшим примером конечного поля является — кольцо вычетов по модулю простого числа p.
Содержание
Свойства
- Характеристика конечного поля является простым числом.
- Число элементов любого конечного поля есть его характеристика в натуральной степени: .
- Для каждого простого числа и натурального существует конечное поле из элементов, единственное с точностью до изоморфизма. Это поле изоморфно полю разложения многочлена .
- Мультипликативная группа конечного поля является циклической группой порядка .
- В частности, в конечном поле всегда существует примитивный элемент , порядок которого равен , то есть и для .
- Любой ненулевой элемент является некоторой степенью примитивного элемента:
- .
- Поле содержит в себе в качестве подполя тогда и только тогда, когда является делителем .
Примеры
- , где — простое: и так далее.
- , где — главный идеал кольца , порожденный неприводимым многочленом степени .
Построение
Построение поля , где p — простое число, n — натуральное число, начинается с построения его простого подполя (которое совпадает со всем полем при n=1).
- Простое поле строится как кольцо вычетов по модулю , которое в виду простоты не имеет делителей нуля и является полем.
- Элементы — числа . Операции проводятся как с обычными целыми числами с приведением результата по модулю .
- Поле при n>1 строится как факторкольцо , где — неприводимый многочлен степени n над полем . Таким образом, для построения поля из элементов достаточно отыскать многочлен степени , неприводимый над полем .
- Элементами поля являются все многочлены степени меньшей с коэффициентами из . Арифметические операции (сложение и умножение) проводятся по модулю многочлена , то есть, результат соответствующей операции — это остаток от деления на с приведением коэффициентов по модулю .
Пример построения поля GF(9)
Для построения поля необходимо найти многочлен степени 2, неприводимый над . Такими многочленами являются:
Возьмём, например, , тогда искомое поле есть . Если вместо взять другой многочлен, то получится новое поле, изоморфное старому.
Таблица сложения в GF(9)
+ 0 1 2 0 0 1 2 1 1 2 0 2 2 0 1 0 1 2 1 2 0 2 0 1 0 1 2 1 2 0 2 0 1 Таблица умножения в GF(9)
× 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 2 0 2 1 0 2 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 0 2 1 0 2 1 Литература
- Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
- Лидл Р. Нидеррайтер Г. Конечные поля. В 2-х тт. — М.: Мир, 1998.
См. также
Категории:- Абстрактная алгебра
- Теория полей
Wikimedia Foundation. 2010.