- Нормальное число
-
Нормальное число по основанию n () — всякое действительное число, в записи которого в n-ричной системе счисления каждая группа из k последовательных цифр встречается с одной и той же асимптотической частотой, равной n-k для каждого k = 1, 2, ….
Числа, нормальные по любому основанию n, называются нормальными или абсолютно нормальными.
Содержание
Основные свойства и примеры
Понятие нормального числа было введено Эмилем Борелем в 1909 году. Используя лемму Бореля — Кантелли он доказал, что мера Лебега ненормальных чисел равна 0. Таким образом, почти все действительные числа нормальны. С другой стороны, числа, в десятичной записи которых отсутствует цифра 0, ненормальны. Поэтому множество ненормальных чисел несчётное.
Д. Чамперноун доказал, что число, являющееся конкатенацией десятичных записей последовательных целых чисел – 0,1234567891011121314151617…, нормально по основанию 10[1]. В то же время неизвестно нормально ли это число по другим основаниям. Для аналогичного числа 0,(1)(10)(11)(100)(101)(110)(111)(1000)(1001)…, записанного в двоичной системе счисления, также доказано, что оно нормально по основанию 2[2].
В 2002 году Бехер и Фигейра[3] доказали, что существует вычислимое абсолютно нормальное число.
Открытые проблемы
Существует общее мнение, что числа π и e нормальны. Однако даже подходы к доказательству этого неясны.
Примечания
- ↑ D. G. Champernowne, The construction of decimals normal in the scale of ten, Journal of the London Mathematical Society, vol. 8 (1933), p. 254-260
- ↑ Bailey, D. H.; Crandall, R. E. Random Generators and Normal Numbers // Exper. Math. — 2002. — Т. 11. — С. 527—546.
- ↑ Becher, V. & Figueira, S. (2002), "«An example of a computable absolutely normal number»", Theoretical Computer Science Т. 270: 947–958, DOI 10.1016/S0304-3975(01)00170-0
Ссылки
- Weisstein, Eric W. Normal Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Champernowne Constant (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Категории:- Теория чисел
- Математические гипотезы
- Аналитическая теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.