- Гипотеза Эйлера
-
Гипотеза Эйлера утверждает, что для любого натурального числа никакую n-ю степень натурального числа нельзя представить в виде суммы -х степеней других натуральных чисел. То есть, уравнения:
не имеют решения в натуральных числах.
Гипотеза была высказана в 1769 году Эйлером как обобщение великой теоремы Ферма, которая соответствует частному случаю n = 3. Таким образом, гипотеза Эйлера верна для n = 3.
Содержание
Контрпримеры
В 1966 году Л. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. L. Selfridge) нашли первый контрпример для n = 5:[1]
В 1988 году Элкис (англ.) нашёл контрпример для случая n = 4:[2]
В 1988 году Роджер Фрай (англ. Roger Frye) нашёл наименьший контрпример для n = 4:[2]
Для n = 6 гипотеза Эйлера по-прежнему остается открытой проблемой.
Обобщения
В 1966 году Л. Д. Ландер (англ. L. J. Lander), Т. Р. Паркин (англ. T. R. Parkin) и Дж. Селфридж (англ. J. Selfridge) высказали гипотезу, что если , где — положительные целые числа, , то .
В случае справедливости этой гипотезы из неё, в частности, следовало бы, что если , то .
Набор положительных целых чисел, удовлетворяющий равенству , где , называется (k,n,m)-решением. Поиском таких решений для различных значений параметров k, n, m занимаются проекты распределенных вычислений EulerNet[3] и yoyo@home.
См. также
Примечания
- ↑ L. J. Lander, T. R. Parkin, J. L. Selfridge (1967). «A survey of equal sums of like powers». Math. Comp. 21: 446-459. DOI:10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0.
- ↑ 1 2 R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert. All solutions of the Diophantine equation a^6+b^6=c^6+d^6+e^6+f^6+g^6 for a,b,c,d,e,f,g < 250000 found with a distributed Boinc project, 2011, препринт.
- ↑ EulerNet
Ссылки
Категории:- Опровергнутые гипотезы
- Математические гипотезы
- Теория чисел
Wikimedia Foundation. 2010.