- Контактное число
-
Контактное число (англ. kissing numbers, число Ньютона[1][2], в химии соответствует координационному числу[2]) — максимальное количество шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).
Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке[3] — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.
Содержание
История
В одномерном случае задача формулируется так: сколько отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка? Легко показать, что ответ — 2:
В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монеток, касающихся центральной. Легко доказать (просто приведя пример), что можно разместить 6 монет:
Это значит, что . С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит . Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и .
В трехмерном случае речь уже идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому . Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.
Это расположение не плотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка же сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что , а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления, и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что . Если позволить менять радиусы шаров всего на 2 % то оказывается возможным прислонить 14 шаров! Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена[4] была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.
В четырёхмерном случае представить себе шар уже довольно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно довольно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов. В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом.[5] Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым.[6][7] Это расположение дало оценку снизу . Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что , потом удалось снизить верхнюю границу до 25. И лишь в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что .[8]
В размерностях 8 и 24 точная оценка была получена гораздо раньше[9][10]. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).
Известные значения и оценки
На данный момент точные значения контактных чисел известны лишь для , а также для и . Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.
Размерность Нижняя
границаВерхняя
граница1 2 2 6 3 12 4 24[8] 5 40 44[11] 6 72 78[11] 7 126 134[11] 8 240 9 306 364[11] 10 500 554 11 582 870 12 840 1 357 13 1 154[12] 2 069 14 1 606[12] 3 183 15 2 564 4 866 16 4 320 7 355 17 5 346 11 072 18 7 398 16 572[11] 19 10 688 24 812[11] 20 17 400 36 764[11] 21 27 720 54 584[11] 22 49 896 82 340 23 93 150 124 416 24 196 560 Применение
Задача имеет и вполне практическое применение в теории кодирования.
См. также
Примечания
- ↑ Яглом, И. М. Проблема тринадцати шаров. — Киев: Вища школа, 1975. — 84 с.
- ↑ 1 2 Дж. Конвей, Н. Слоэн Упаковки шаров, решётки и группы. — М.: Мир, 1990. — Т. 1. — 415 с. — ISBN 5-03-002368-2
- ↑ Контактные числа на решётках: последовательность A001116 в OEIS
- ↑ Schütte, K. and van der Waerden, B. L. (1953). «Das Problem der dreizehn Kugeln». Math. Ann. 125 (1): 325-334. DOI:10.1007/BF01343127.
- ↑ Gosset, Thorold (1900). «On the regular and semi-regular figures in space of n dimensions». Messenger of Mathematics 29: 43–48.
- ↑ Korkine A., Zolotareff G. (1872). «Sur les formes quadratiques positives quaternaires». Math. Ann. 5 (4): 581—583. DOI:10.1007/BF01442912. Рус. пер.: Золотарев Е. И. Полн. собр. соч. — Л.: Изд-во АН СССР, 1931. — С. 66—68.
- ↑ Н.Н. Андреев, В.А. Юдин Арфиметический минимум квадратичной формы и сферические коды // Математическое просвещение. — 1998. — № 2. — С. 133-140.
- ↑ 1 2 Мусин О. Р. Проблема двадцати пяти сфер // УМН. — 2003. — Т. 58. — № 4(352). — С. 153-154.
- ↑ Левенштейн В. И. О границах для упаковок в n-мерном евклидовом пространстве // ДАН СССР. — 1979. — Т. 245. — С. 1299–1303.
- ↑ A. M. Odlyzko, N. J. A. Sloane (1979). «New bounds on the number of unit spheres that can touch a unit sphere in n dimensions». J. Combin. Theory Ser. A 26: 210–214. DOI:10.1016/0097-3165(79)90074-8.
- ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 Hans D. Mittelmann and Frank Vallentin [http://arxiv.org/abs/0902.1105 High-Accuracy Semidefinite Programming Bounds for Kissing Numbers] // Experimental Mathematics. — 2010. — Т. 19. — № 2. — С. 174-178.
- ↑ 1 2 В. А. Зиновьев, Т. Эриксон Новые нижние оценки на контактное число для небольших размерностей // Пробл. передачи информ.. — 1999. — Т. 35. — № 4. — С. 3–11.
Ссылки
- Контактное число шаров и сферические коды. Математические этюды.
- Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Математика. — Издательский дом «Первое сентября», 2007. — № 9 (623).
- Шарыгин, Г. И. Контактные числа и проблема тринадцати шаров // Потенциал. — 2009. — № 6.
- Арестов В. В., Бабенко А. Г. О схеме Дельсарта оценки контактных чисел // Труды Мат. ин-та им. В.А. Стеклова РАН. — 1997. — Т. 219. — С. 44-73.
Категория:- Комбинаторная геометрия
Wikimedia Foundation. 2010.