- Открытые проблемы в теории чисел
-
Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.
Содержание
Гипотезы о простых числах
- Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
- Слабая проблема Гольдбаха. Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел (доказана для всех достаточно больших нечётных чисел).
- Проблема Ризеля: поиск такого минимального нечётного , что число является составным для всех натуральных .
- Проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального , что число является составным для всех натуральных .
- Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
- Гипотеза Лежандра. Для любого натурального между и найдётся хотя бы одно простое число.
- Гипотеза Брокарда. Для любого натурального между и (где — это -ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
- Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна .
- Верно ли, что для любого положительного иррационального числа и любого положительного существует бесконечное количество пар простых чисел для которых выполняется неравенство ?[1]
- Сходится ли ряд ?[2]
- Гипотеза Гильбрайта. Для любого натурального числа последовательность абсолютных разностей -го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними простыми числами: разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: и т. д. Гипотеза проверена для всех n < 3×1011[3]
- Гипотеза Буняковского Если - целозначный неприводимый многочлен и d - наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау - частный случай этой гипотезы при .
- Гипотеза Диксона Если - конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что для каждого такого n все r чисел являются простыми одновременно. Причем из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число кратно p.
- Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей[4]:
Последовательность Название числа Мерсенна 4-я проблема Ландау числа Каллена (англ.) числа Вудалла (англ.) числа Ферма числа Фибоначчи пары простые близнецы пары простые числа Софи Жермен факториальные числа (англ.) праймориальные числа (англ.) , — нечетно, числа Прота Гипотезы о совершенных числах
- Не существует нечётных совершенных чисел.
- Количество совершенных чисел бесконечно.
Гипотезы о дружественных числах
- Не существует взаимно простых дружественных чисел.
- Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
Диофантовы уравнения
- Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово представление?[5]
- Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
- Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
- Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
- Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает [6]
- Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
- Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
- Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
- Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения ?[5]
- Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями.
Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений.[7][5]
Аналитическая теория чисел
- Гипотеза Римана (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая асимптотическая формула для распределения простых чисел:
- Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой
- где — количество делителей числа k, — постоянная Эйлера — Маскерони, а может быть выбрано равным Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем ).[8][9][10]
- Гипотеза Крамера о пробелах между простыми числами : .
- Ослабленная гипотеза Мертенса: доказать, что функция Мертенса оценивается как . Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
- Первая гипотеза Харди — Литлвуда - гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида , утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
- Вторая гипотеза Харди — Литлвуда - гипотеза о логарифмическом свойстве функции числа простых чисел: .
- Гипотеза Сингмастера (англ.). Обозначим через количество раз, которое натуральное число , большее единицы, встречается в треугольнике Паскаля. Сингмастер (англ.) показал, что , что в дальнейшем было улучшено до . Верно ли более сильное утверждение ?
- Гипотеза Зарембы (англ.). Для любого натурального числа q найдётся такое число p, что в разложении в цепную дробь все неполные частные не превосходят пяти. В 2011 году Жаном Бургейном и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1.[11]
Теория Рамсея
- Значения чисел Рамсея (англ.) . Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается , про него известно только, что .
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 1 3 6 9 14 18 23 28 36 [40, 43] 4 1 4 9 18 25 [35, 41] [49, 61] [56, 84] [73, 115] [92, 149] 5 1 5 14 25 [43, 49] [58, 87] [80, 143] [101, 216] [125, 316] [143, 442] 6 1 6 18 [35, 41] [58, 87] [102, 165] [113, 298] [127, 495] [169, 780] [179, 1171] 7 1 7 23 [49, 61] [80, 143] [113, 298] [205, 540] [216, 1031] [233, 1713] [289, 2826] 8 1 8 28 [56, 84] [101, 216] [127, 495] [216, 1031] [282, 1870] [317, 3583] ≤ 6090 9 1 9 36 [73, 115] [125, 316] [169, 780] [233, 1713] [317, 3583] [565, 6588] [580, 12 677] 10 1 10 [40, 43] [92, 149] [143, 442] [179, 1171] [289, 2826] ≤ 6090 [580, 12 677] [798, 23 556] - Значения чисел ван дер Вардена (англ.). На данный момент известны значения только 6 первых чисел: 1, 3, 9, 35, 178, 1132 (последовательность A005346 в OEIS). Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что , где выражение для верхней границы использует тетрацию).[12]
Другие проблемы
- Пусть — положительное число такое, что и — целые числа. Может ли не быть целым числом?
- Существование слегка избыточных чисел.
- Существуют ли попарно различные натуральные числа такие, что ?[13]
- Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?[14]
- Гипотеза Биля. Если где — натуральные и , то имеют общий простой делитель.
- Гипотеза Эрдёша (англ.). Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
- Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)[15]
- Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
- Гипотеза жонглёра. Любая последовательность жонглёра достигает 1.[16] Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой
- Проблема Брокарда (англ.). Имеет ли уравнение решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?[17]
- Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно и треугольными числами (то есть имеют вид ), и факториалами (то есть имеют вид ).[18][19]
- Конечно ли множество решений уравнения В настоящее время известно только 5 решений.[20]
- Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел?[21]
- Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвертых степеней четырех рациональных чисел?
- Проблема Варинга
См. также
- Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
Примечания
- ↑ Mathematical developments arising from Hilbert problems, стр. 39
- ↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Гипотеза Гильбрайта (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ 1 2 3 Ю. В. Матиясевич Упражнение 2.10 // Десятая проблема Гильберта. — М.: Наука, 1993. — 223 с. — (Математическая логика и основания математики; выпуск № 26). — ISBN 502014326X
- ↑ Jones J. P. (1980). «Undecidable diophantine equations». Bull. Amer. Math. Soc. 3: 859-862. DOI:10.1090/S0273-0979-1980-14832-6.
- ↑ Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done
- ↑ А. А. Бухштаб Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966.
- ↑ Аналитическая теория чисел
- ↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. On Zaremba’s Conjecture.
- ↑ Weisstein, Eric W. Число ван дер Вардена (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that a^5+b^5=c^5+d^5? Unsolved Problem of the Week. MathPro Press.
- ↑ Weisstein, Eric W. Пифагорова тройка (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. A-Sequence (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ последовательность A007320 в OEIS, последовательность A094716 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Проблема Брокарда (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ последовательность A000142 в OEIS
- ↑ последовательность A000217 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. Число 2 (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. Cubic Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
Ссылки
Категории:- Математические гипотезы
- Списки:Математика
- Текущие списки
- Нерешённые проблемы
- Теория чисел
- Аналитическая теория чисел
- Числа
Wikimedia Foundation. 2010.